5 Cadran vertical déclinant

On part du cadran vertical méridional, et on tourne la table d’un angle Δ autour de l’axe . On choisira la convention Δ < 0 pour une orientation vers l’Est, et Δ > 0 pour une orientation vers l’Ouest. Le système de coordonnées associé au cadran déclinant est décrit sur la figure 3.

5.1 Cas général

Dans le repère (O,,,) le style est représenté par

(19)

et M appartient au plan du cadran d’équation x_D = 0, d’où = et donc

Pour la déclinaison nulle, on trouve

(21)

et en reformulant cette équation sous la forme

(22)

on vérifie qu’on a bien le même résultat que celui publié par O. Tomas [3].

À l’aide d’une rotation du système de coordonnées, on peut faire disparaître le terme yz de l’équation (20) (cf. appendice A). L’angle de rotation est déterminé par l’équation

(23)

soit encore

(24)

Or on sait que

(25)

donc en on déduit que l’angle de rotation θ est défini par

(26)

ce qui correspond à la pente de la droite décrite par l’équation (22), ainsi qu’à l’angle que fait la sous-stylaire avec la ligne de midi [4]. À l’époque de Bedos de Celles, l’équation (26) s’exprimait ainsi [5] : «Le sinus total est au sinus de la déclinaison du plan, comme la tangente du complément de la hauteur du pôle sur l’horizon du lieu est à la tangente de l’angle compris entre la Méridienne et la soustylaire».

Dans le nouveau repère on a alors

(27)

avec

(29)

ce qui est toujours vrai en dehors de la zone entre les tropiques (|φ| > |δ_s|).

Par contre, dans la zone tropicale, on peut toujours trouver un mur tel que cos ²δ _s∕ cos ²φ < cos ²Δ, et on pourra avoir des ellipses comme lignes de déclinaison. Celles-ci ne seront bien sûr pas complètes, puisque lorsque le Soleil est couché, il n’y a pas d’ombre.

Ainsi sur la figure 4, nous présentons deux exemples de cadrans verticaux déclinants. Le cadran de la figure 4(b) montre une ligne de déclinaison elliptique dans son coin supérieur droit.

(a) Cadran vertical de déclinaison -30∘ Est pour la latitude φ = 48∘ Nord. (b) Cadran vertical de déclinaison -11∘ Est pour la latitude φ = 15∘ Nord. FIG. 4: Exemples de cadrans solaires verticaux déclinants. Lignes calculées pour les déclinaisons δs = ±23.44∘, δ s = ±11.725∘ et δ s = 0∘.

5.2 Cas particuliers : le cadran oriental et le cadran occidental

Dans le cas particulier Δ = ±π∕2 (table face à l’Est pour Δ = -π∕2, face à l’Ouest pour Δ = +π∕2), alors

Dans ce cas, le style est dans le plan où l’on veut observer l’ombre (comme on l’a déjà vu dans la partie 3.2).Pour cette raison, les cadrans orientaux ou occidentaux ont un style parallèle à la table, ce qui pour nos calculs revient à étudier l’ombre du style non plus dans le plan x = 0 mais x = ±α, ce qui a pour effet de faire apparaître un terme sin ²δ _sα² dans le membre de droite de l’égalité (20). Après changement de repère, on obtient :

(31)

Le style étant parallèle à la table, on peut faire tendre sa longueur vers 0, et le remplacer par une tige de longueur α perpendiculaire à cette même table, et c’est l’ombre du somme de cette tige qui indique l’heure. Dans ces conditions, la trajectoire de l’ombre se simplifie pour donner (cas du cadran oriental) :

(32)

L’analogie entre le cas du cadran vertical oriental et du cadran horizontal à l’équateur est évidente pour des raisons géométriques : à partir du moment où le style est parallèle à la table, peu importe la latitude ou le type de cadran.

5.2.1 Vérification de l’azimut de lever

Lorsque le Soleil se lève, son ombre se situe sur l’axe _D (à l’intersection de la courbe de déclinaison et de cet axe, voir la figure 6). La distance entre ce point et l’origine vaut l = α tan A_c, avec A_c = π∕2 + A où A désigne l’azimut du soleil (pris négatif à cette heure du lever du soleil). L’angle A_c est positif pour un lever d’automne et d’hiver (cas de la figure 6), et négatif pour un lever de printemps ou d’été. Par ailleurs, on voit que pour ce point z′ = l cos φ = α tan A_c cos φ et y′ = l sin φ = α tan A_c sin φ. En remplaçant dans l’équation (32) puis en élevant au carré on obtient

(33)

Sachant que sin²x = tan ²x∕(1 + tan ²x), on en déduit (le calcul est précisé dans l’annexe C)

(34)

Avec A_c = π∕2 + A, on trouve donc en définitive

(35)

qui est bien le résultat attendu [6].

5.2.2 Vérification de l’angle de lever par rapport à l’horizon

D’après l’équation (32), on sait que

(36)

or on a vu dans la section 5.2.1 qu’au moment du lever y′∕z′ = tan φ, par conséquent à ce moment là

(37)

À l’aide de la matrice de rotation décrite dans l’annexe A, on peut donc calculer sur la table du cadran la pente de la courbe de déclinaison (ou plus précisément de sa tangente) au lever du Soleil dans le plan (y_DOz), à savoir

(38)

Cependant, pour déterminer l’angle que fait la trajectoire journalière du Soleil avec l’horizon au lever, c’est la quantité dz∕dy′′ qu’il faut évaluer, où y′′ est mesuré sur l’axe horizontal perpendiculaire au rayon du Soleil passant par l’extremité du style (figure 6). En effet, la trajectoire du Soleil au lever est contenue localement dans le plan vertical tangent en L au cercle horizon dont le centre peut être placé à l’extrémité du style. Sachant que y′′ = y_D cos A_c et que le Soleil monte lorsque son ombre descend, on en déduit

(40)

qui est le résultat déjà obtenu par ailleurs [6].