Coniques et changement de repère

L’expression la plus générale d’une conique dans le repère (xOy) est :

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2fy + g = 0.

(51)

Par un changement de repère adéquat, à savoir une rotation d’un angle θ défini par

cot2θ = a --c, 2b

(52)

on fait disparaître le terme croisé xy et on se ramène à une équation dans le nouveau repère (x′Oy′) de la forme

a′x ′2 + c′y′2 + 2d ′x ′ + 2f′y′ + g′ = 0,

(53)

avec

a′ = a cos2θ + 2bcos θsinθ + csin2 θ, (54a ) ′ 2 2 c = a sin θ - 2bcosθ sin θ + ccos θ, (54b ) d′ = d cosθ + f sin θ, (54c ) ′ f = - dsin θ + f cos θ, (54d ) g′ = g, (54e )

et l’on réécrit (53) sous la forme

′ ′ ′2 ′2 a ′(x′ + d-)2 + c′(y′ + f-)2 = - g′ + d-+ f-. a′ c′ a′ c′

(55)

FIG. 8:

Conique et changement de repère

Après avoir calculé la courbe dans le repère (x′0y′), on trouve les coordonées de ses points dans le repère (xOy) à l’aide de la transformation

( ) ( ) ( ) x cos θ - sin θ x′ y = sin θ cosθ y′ .

(56)

Plusieurs types de coniques peuvent être rencontrés :