Cadran horizontal

3 Cadran horizontal

3.1 Cas général

On choisit comme axe le méridien local et comme sens positif la direction vers laquelle pointe le style, donc le nord. Le vecteur ′
O⃗B représentant le style s’écrit

( ) cos φ OB⃗ ′ = Ls( 0 ) . sin φ

(5)

On considère un point M de la ligne de déclinaison (ses coordonnées sont (x,y, 0) car M est dans le plan z = 0). En substituant ces données dans l’équation (3) on obtient

x2(cos2φ - sin2δs) - y2sin2δs - 2Lsx cosφ cos2δs + L2s cos2δs = 0.

(6)

Selon le signe du produit des coefficients des termes x² et y² (cf. annexe A), plusieurs types de courbes peuvent être obtenus :

pour des latitudes où le Soleil se couche tous les jours de l’année, on a cos ²φ- sin ²δ_s = cos ²δ_s - sin ²φ > 0, il s’agit de l’équation d’une hyperbole.
si l’on se trouve à une latitude où le Soleil ne se couche pas un jour de déclinaison δ_s, alors cos ²δ_s - sin ²φ < 0, et l’équation (6) est alors celle d’une ellipse.
dans le cas très particulier où cos ²δ_s = sin ²φ, on a alors une parabole :
$- y2tan2 δ - 2xL cosφ + L2 = 0. s s s$ (7)
Pour δ_s = 0 (jour d’équinoxe), alors l’équation (4) nous fournit
$xcos φ = L , s$ (8)

ce qui est l’équation d’une droite, comme on l’a déjà vu.
Enfin, si φ = ±π∕2 (Pôle Nord ou Pôle Sud), on obtient un cercle :
$1 x2 + y2 = ---2---L2s. tan δs$ (9)

3.2 Le cadran horizontal à l’équateur

Dans ce cas particulier, le style est parallèle à la table, et même dans le plan de la table, il faut donc le «décoller». Pour ce faire, on va étudier l’ombre de l’extrémité du style dans le plan z = -α, ce qui conduit à l’équation

2 2 2 2 2 (x - Ls ) - y tan δs = α tan δs,

(10)

qui est celle d’une hyperbole.

Le style étant parallèle à la table, on peut faire tendre sa longueur vers 0 et le remplacer par une tige plantée verticalement dans le sol, de longueur α. L’équation de l’ombre du sommet de la tige sera

∘ -------- x = - tanδs y2 + α2.

(11)

3.3 Le cadran incliné

Si l’on incline la table d’un angle i (i < 0 pour la table orientée vers le nord, i > 0 pour la table orientée vers le sud, conformément à la notation choisie dans [3]), on se ramène au cas du cadran horizontal à la latitude φ - i. Dans le cas particulier où i = φ - π∕2, on obtient un cadran équatorial, la table est parallèle au plan de l’équateur, on est dans la situation du cadran horizontal au Pôle Nord, et les lignes de déclinaison sont des cercles.

On peut choisir l’inclinaison i de manière à avoir comme lignes de déclinaison des hyperboles (cas où cos ²δ_s - sin ²(φ - i) > 0), mais on peut aussi choisir i de manière à avoir des ellipses (il suffit pour cela de vérifier que pour certaines dates, cos ²δ_s - sin ²(φ - i) < 0, soit encore pour l’hémisphère nord -i > π∕2 - δ_s - φ) et une parabole, ainsi bien sûr qu’une droite pour les équinoxes.

En choisissant i = π∕2, on obtient même le cadran vertical méridional. Le cadran vertical est cependant étudié à part entière dans la section 4 car il est à l’origine du cadran vertical déclinant étudié dans la section 5.

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