Principe du calcul

2 Principe du calcul

Dans un article précédent [2], nous avons montré que le rayon vecteur , joignant l’extrémité B′ du style du cadran au soleil, décrit, à cause du mouvement diurne du soleil un jour de déclinaison δ_s, un cône de demi-angle au sommet π∕2 -δ_s et d’axe le style du cadran, qui est par construction parallèle à l’axe de la Terre (figure 1). L’ombre de l’extrémité B′ du style dans le plan du cadran est notée M. Elle définit la ligne de déclinaison δ_s comme l’intersection du cône précédemment défini avec le plan du cadran.

FIG. 1:

Schéma du cadran solaire horizontal.

Il est judicieux de choisir un système de coordonnées adapté au cadran, de manière à ce que l’une des trois coordonnées du point M soit nulle (la difficulté étant alors de déterminer les coordonnées de B′ dans ce système). L’équation de la trajectoire de M s’obtient en considérant que, comme on l’a rappelé plus haut, l’angle entre ⃗ ′
OB et ⃗′
B M (colinéaire à mais de sens opposé) est constant au cours d’une journée, on peut donc écrire

--O⃗B--′.B⃗′M----- ||O⃗B ′||.||B ⃗′M || = - cos(π ∕2 - δs).

(1)

Par conséquent, l’équation recherchée est :

(O⃗B ′.B ⃗′M )2 = ||O⃗B ′||2||B ⃗′M ||2 cos2(π ∕2 - δs).

(2)

La longueur || ⃗ ′
OB || est notée L_s, et on définit le vecteur directeur du style tel que = L_s. On introduit aussi H le projeté perpendiculaire de B′ sur la table du cadran. H⃗B ′ est appelé style droit et O⃗H sous-stylaire. On peut développer l’équation (2) en remplaçant B ⃗′M par O⃗M - O⃗B ′ , et on obtient finalement

2 2 ⃗ ⃗ 2 2 ⃗ 2 Ls cos δs + ⃗a.OM (⃗a.OM - 2Ls cos δs) - sin δs||OM || = 0.

(3)

Dans le cas particulier de la déclinaison nulle, l’équation (2) se simplifie (le second membre de l’égalité est nul) pour donner

⃗′ ⃗a.B M = 0.

(4)

Le lieu de M est donc le plan perpendiculaire au style, passant par son extrémité. Comme M appartient également à la table du cadran, on en conclut que M se situe à l’intersection de ces deux plans, qui est une droite (à l’exception du cas particulier du cadran équatorial où la table du cadran est perpendiculaire au style, dans ce cas l’ombre du style est projetée à l’infini). Nous obtenons ainsi le premier résultat important, qui est que les jours d’équinoxe, quelles que soient l’orientation et l’inclinaison de la table du cadran solaire, l’ombre de l’extrémité du style parcourt une droite.

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]