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4 Cadran vertical

Nous distinguerons deux cas : le cadran septentrional (table face au nord) et le cadran méridional (table face au sud). Les systèmes de coordonnées choisis dans les deux cas sont présentés sur la figure 2. Ils ont comme caractéristiques d’avoir un axe ⃗z vertical et un axe ⃗x normal à la table du cadran.

PIC

FIG. 2: Cadrans verticaux et systèmes de coordonnées associés.

4.1 Cadran septentrional

Dans le repère (O,⃗xN,⃗yN,⃗z) le style est représenté par le vecteur

( ) cos φ OB⃗ ′ = Ls( 0 ) . sin φ
(12)

M appartient au plan xN = 0 donc

( ) 0 O⃗M = ( yN ) . z
(13)

L’équation (3) mène à

2 2 2 2 2 2 2 2 - yN sin δs + z (sin φ - sin δs) - 2zLs sinφ cos δs + Ls cos δs = 0.
(14)

Si sin 2φ - sin 2δ s = cos 2δ s - cos 2φ > 0 (ce qui est toujours vérifié en dehors de la zone tropicale), il s’agit de l’équation d’une hyperbole. Si cos 2δ s - cos 2φ < 0 (certains jours de l’année dans la zone tropicale), on aura alors une ellipse, et si cos 2δ s - cos 2φ = 0 on aura une parabole.

Les jours d’équinoxe, l’ombre du sommet du style parcourt la droite d’équation

z sin φ = Ls.
(15)

4.2 Cadran méridional

Cette fois la table du cadran est plein sud, par conséquent on utilise le repère (O,⃗xS,⃗yS,⃗z), dans lequel le style est représenté par

( cos φ ) ⃗ ′ ( ) OB = Ls 0 , - sin φ
(16)

et OM⃗ = Ls( ) 0 ( yS ) z, d’où

- y2S sin2 δs + z2(sin2φ - sin2δs) + 2zLs sin φ cos2δs + L2s cos2 δs = 0,
(17)

et l’on peut tirer des conclusions identiques à celles obtenues pour le cadran vertical septentrional. Les jours d’équinoxe, l’ombre du somme du style parcourt une droite d’équation

z sin φ = - Ls.
(18)

Il est important de noter que le cadran méridional est utilisable toute l’année (dans l’hémisphère nord), alors que le cadran septentrional ne fonctionne que de l’équinoxe de printemps à l’équinoxe d’automne, tôt le matin et tard le soir (toujours dans l’hémisphère nord).

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