Dans un article précédent [8], nous avons obtenu les équations reliant la hauteur h et l’azimut A du Soleil dans le plan horizontal local pour la latitude φ à la déclinaison δs et à l’angle horaire H du Soleil.
On rappelle qu’à midi vrai, H = 0, et que H varie de 15∘ par heure (il est négatif le matin et positif l’après-midi).Par la suite, nous nous intéresserons plus particulièrement à deux villes de l’hémisphère Nord, Paris (φ = 48∘51′N) et Yaoundé (φ = 4∘N).
Partant de l’équation (9c), on peut déduire les angles horaires de coucher et de lever du Soleil en posant h = 0, ce qui conduit à
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La fonction cosinus étant paire, les angles horaires de lever et de coucher du Soleil sont parfaitement symétriques par rapport au midi vrai défini par H = 0.
Mais à cause de l’équation du temps, les heures réelles de lever et de coucher du Soleil doivent être décalées d’une quantité Δt telle que définie par l’équation (8).La durée du jour étant le temps écoulé entre le lever et le coucher du Soleil, on en déduit qu’elle se calcule (en heure) grâce à la formule :
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elle est indépendante de Δt. La fonction arccos est décroissante sur l’intervalle [-1; 1], donc pour une latitude positive, la durée du jour sera maximale lorsque la déclinaison sera maximale, et elle sera minimale lorsque la déclinaison sera minimale, ce qui correspond aux solstices d’été et d’hiver.
La variation de l’heure de lever (et de coucher) du Soleil pour une latitude fixe (calculée comme Hlever*(j) - H lever*(j - 1) pour le jour j de l’année) est liée à deux causes : la déclinaison du Soleil et l’équation du temps. Les deux contributions sont comparées sur la figure 6 pour la latitude de Paris.
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On voit que pour cette latitude, la contribution de l’équation du temps est généralement faible par rapport à la contribution de la déclinaison, par conséquent la variation de l’heure de lever est peu différente de ce qui se passerait sans l’équation du temps. La différence la plus visible concerne en fait la date pour laquelle la variation s’annule.
La variation de l’heure de lever s’annule lorsque l’heure de lever est minimale ou maximale. D’après les équations (11a), (11b) et (13), on voit qu’en l’absence de l’équation du temps, le jour le plus court sera celui où le Soleil se lève le plus tard et se couche le plus tôt. Mais du fait de l’équation du temps, la date du lever le plus tardif est légèrement décalée par rapport au solstice d’hiver. Pour résumer la situation, on peut dire que le lever le plus tardif a lieu plus tard que le solstice d’hiver, le lever le plus matinal a lieu avant le solstice d’été, le coucher le plus tardif a lieu plus tard que le solstice d’été, et le coucher le plus précoce a lieu avant le solstice d’hiver. Par conséquent au début de l’hiver en France, même si les jours rallongent, le Soleil continue pendant quelques jours à se lever plus tard.
Sur la figure 7, nous avons représenté les variations de l’heure de lever du Soleil en fonction de la latitude et du jour de l’année. Plus on descend en latitude, plus l’influence de l’équation du temps est prépondérante (à la limite, pour φ = 0∘, seule l’équation du temps contribue), et pour des latitudes comprises entre -10∘ et 10∘, la variation de l’heure de lever change quatre fois de signe, contre deux fois par ailleurs. Ainsi d’août à octobre, alors que la durée du jour diminue, le Soleil se lève-t-il de plus en plus tôt à Yaoundé, pendant qu’à Paris il se lève de plus en plus tard avec la variation quotidienne la plus forte.
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Une autre manière de répondre à la question posée dans cette partie repose sur l’analemme. Si on la représente pour l’angle horaire correspondant au lever du Soleil le jour le plus court de l’année (jour du solstice d’hiver) pour la latitude de Paris (figure 8), on s’aperçoit qu’une petite partie se situe sous l’horizon, ce qui signifie que pendant les jours correspondants à cette partie de la courbe, à la même heure donc, le Soleil ne sera pas encore levé.
En France métropolitaine, nous avons l’habitude d’avoir le Soleil au Sud lorsqu’il atteint son zénith. Nous sommes généralement également convaincus (et certains ont pu avoir la chance de le vérifier) que dans l’hémisphère Sud, le Soleil sera au Nord à son point le plus haut. Pourtant, tout n’est pas aussi simple.
D’après les équations (9a) et (9c), à midi vrai (H = 0 et A = 0), la hauteur du Soleil est donnée par :
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Pour une latitude supérieure à la déclinaison maximale ε, on vérifie 0 < h < π∕2, et si l’on se place face au Sud, le Soleil sera toujours visible. À la limite, il pourra être très exactement à la verticale le jour du solstice d’éte si l’on se situe sur le tropique du Cancer. Au contraire, dans l’hémisphère sud, pour des latitudes comprises entre celles du tropique du Capricorne et le cercle polaire, le soleil ne sera visible que si l’on est face au Nord (π∕2 < h < π).
Le cas de figure le plus intéressant se présente dans la zone comprise entre les tropiques. En effet, il est alors possible que le Soleil indique soit le Sud, soit le Nord, selon sa déclinaison. Ceci est représenté graphiquement sur la figure 9.
La position du Soleil à midi vrai est représentée pour les solstices et une équinoxe, pour Paris et Yaoundé respectivement. On voit bien qu’au moment du solstice d’été, à Yaoundé, le Soleil a «dépassé» la verticale.
En conclusion, même dans l’hémisphère nord, le Soleil n’est pas toujours au Sud à midi vrai.
En combinant les équations (9a) et (10), on peut obtenir l’azimut du Soleil lorsqu’il se lève et lorsqu’il se couche :
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Dans l’hémisphère Nord, lorsque la déclinaison est positive, A est inférieur à -π∕2 au lever et supérieur à π∕2 au coucher, le Soleil se lève «avant» l’Est et se couche «après» l’Ouest. Les jours d’équinoxe, il se lève exactement à l’Est et se couche exactement à l’Ouest (ce qui pouvait déjà être déduit de la figure 9). Sur la figure 10 ont été représentés les azimuts de lever du Soleil pour deux latitudes différentes dans l’hémisphère Nord.
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On voit que la variation de l’azimut de lever est d’autant plus forte que la latitude est élevée. Pour Paris, l’écart entre l’azimut minimal et l’azimut maximal vaut près de 70∘, ce qui n’est pas négligeable ! la détermination des points cardinaux avec le lever et le coucher du Soleil doit donc se faire avec prudence.
Par définition, les jours d’équinoxe, le jour et la nuit ont la même durée. Or la consultation d’un simple calendrier des postes nous indique qu’il n’en est rien, la durée du jour dépasse douze heures d’une dizaine de minutes à Paris. Pourtant avec δs = 0∘ dans l’équation (13) on trouve bien Djour = 12h. La différence provient du fait qu’imposer h = 0∘ ne signifie pas que le Soleil va apparaître ou a disparu à l’horizon, mais que le centre du Soleil se trouve à l’horizon. Or pour déterminer l’heure de lever ou de coucher du Soleil, on se réfère au sommet du disque solaire, qui peut être visible même si le centre du Soleil est sous l’horizon (du fait du diamètre angulaire du Soleil, ainsi que de la réfraction atmosphérique). Pour cette raison, la détermination des heures de lever et de coucher se fait en tenant compte d’une valeur de h valant h0 = -0, 83∘ [9]. On obtient alors une nouvelle formule pour déterminer l’angle horaire de lever ou de coucher du Soleil.
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(h0 est suffisamment petit pour pouvoir utiliser l’approximation sin h0 = h0). On peut montrer que l’écart ΔH lié à h0 vaut (d’après le calcul présenté en annexe D) :
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Pour une latitude de 48∘51′ et une déclinaison nulle, le Soleil apparaît environ cinq minutes plus tôt que ce
que donne le calcul avec h = 0∘. Au total, on gagne donc dix minutes, ce qui correspond bien aux indications
du calendrier.
On peut alors mettre en doute le résultat obtenu dans la partie 3.2, à savoir que les jours d’équinoxe, le Soleil se lève exactement à l’Est et se couche exactement à l’Ouest. En effet, ceci n’est vrai que pour le centre du Soleil. On peut estimer l’erreur commise sur l’azimut du Soleil au lever et au coucher en considérant désormais le sommet du Soleil. Lorsque ce dernier apparaît à l’horizon, le centre du Soleil a pour hauteur h0 et son azimut est décalé d’une quantité ΔA par rapport à la valeur déterminée avec l’équation (15) (voir la figure 11).
Par ailleurs, on peut estimer l’angle θ0 que fait la trajectoire du Soleil avec le cercle horizon, au point d’intersection de ces deux cercles (attention à ne pas confondre θ0 avec l’angle entre le plan de la trajectoire diurne et le plan horizon, noté γ sur la figure 12, et tel que γ = π∕2 - φ), θ0 étant mesuré dans le plan tangent local vertical contenant ces deux cercles (voir l’annexe E pour la démonstration, ainsi que les figures 11 et 12 pour la signification de θ0) :
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On peut remarquer qu’au niveau de l’Équateur, le Soleil se lève et se couche à la verticale (on peut le déduire également de la figure 9).
D’après la figure 11, on a également tan θ0 = h0∕ΔA, ce qui conduit grâce à la relation tan 2x = (1 - cos 2x)∕ cos 2x à
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Pour des latitudes comprises entre les cercles polaires, l’argument de la racine est positif. Si maintenant on applique cette formule un jour d’équinoxe, elle se simplifie pour donner
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et pour des latitudes toujours comprises entre les cercles polaires (soit |φ| < 66∘34′), on peut vérifier que ΔA est toujours inférieure à 2∘ (inférieure à 1∘ pour Paris, inférieure à 0, 1∘ pour Yaoundé). En première approximation, l’erreur commise sur l’azimut est donc acceptable, et on peut toujours dire que le Soleil se lève à l’Est les jours d’équinoxe.
Remarque : le calcul précédent peut également se faire en utilisant les équations (9a) et (9c) pour une hauteur h0. On obtient alors
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soit après un développement limité en h0 à l’ordre 1
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Sachant que cos Ac = - sin δ s∕cosφ (azimut de lever du centre du Soleil donné par l’équation (15)), on peut écrire pour l’azimut de lever du sommet du Soleil
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et un calcul similaire à celui de l’annexe D permet de déterminer la quantité ΔA telle que Alevers = A leverc + ΔA. On obtient bien le résultat de l’équation (20).
