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4 Calcul des variations

On cherche à minimiser

∫ B ds t = ---, A v
(21)

que l’on peut encore exprimer grâce aux relations (2) et

∘ ----(---)2-- ∘ --2-----2- dy- ∘ -----2 ds = dx + dy = dx 1 + dx = dx 1 + y˙
(22)

comme

∘ ----------- ∫ x2 1 + ˙y2 t = ----------dx x1 2g(y - y1)
(23)

(on a volontairement inclu une dépendance en y1 dans (23) afin de pouvoir tenir compte par la suite d’un point de départ variable, le cas d’un point de départ fixe pouvant se ramener par changement de repère à y1=0).

4.1 Limites fixes

Soit une fonctionnelle définie par

∫ x2 I = F (x,y,y˙)dx, x1
(24)

où les bornes x1 et x2 sont fixes. La variation de cette fonctionnelle est nulle si F vérifie l’équation d’Euler-Lagrange [8, 9] :

( ) ∂F d ∂F ----- --- ---- = 0. ∂y dx ∂y˙
(25)

Si de plus F ne dépend pas explicitement de x, on peut alors utiliser l’identité de Beltrami :

∂F-- F - ˙y ∂ ˙y = c
(26)

où c est une constante à déterminer à partir des conditions initiales.

Dans le cas qui nous intéresse,

∘ ----------- --1 +-˙y2-- F (x,y,y˙) = 2g(y - y1),
(27)

on peut donc utiliser (26), ce qui mène à

(y - y ).(1 + ˙y2) = --1-, 1 2gc2
(28)

qui est bien semblable à l’équation (7) avec ymax = 1∕(2gc2) et y 1 = 0.

4.2 Limites variables

4.2.1 Point de départ fixe

Pour simplifier, on va considérer que le points de départ est fixe, mais que le point d’arrivée est susceptible de se déplacer sur la courbe décrite par y = φ(x). Dans ce cas, on montre que F doit non seulement vérifier l’équation (25), mais aussi ce qu’on appelle la condition de transversalité [10] :

( ) ∂F-- F |x2 + ( ˙φ(x2) - ˙y(x2)) ∂ ˙y |x2= 0.
(29)

Reprenant la définition de F donnée par (27) pour le problème brachistochrone, on obtient alors

( 1 ) ( 1 ) 1 + y˙(x2 )φ ˙(x2) = 0 = . , ˙y(x2) φ˙(x2)
(30)

ce qui exprime bien que les tangentes à la cycloïde et à la courbe d’arrivée sont perpendiculaires au point d’arrivée puisque le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul. On retrouve bien la propriété illustrée par la figure 2 et énoncée dans la partie 3.1.

4.2.2 Cas général

Considérons que le point de départ se trouve sur une courbe décrite par h(x,y) = 0, et que le point d’arrivée se trouve sur g(x,y) = 0. On doit alors vérifier (25), mais aussi [8]

∂g ∂F ∂y--F |x2 ----|x2= (-----)---2-----(----)- ∂ ˙y -∂g- + y˙(x ) ∂g-- ∂x2 2 ∂y2
(31)

et

-∂h- ∂h-- ∂y F |x1 ∂F ∂x ∫ x2∂F (-----)---1-----(----)- - ----|x1 + (----)-----1---(----)- ----dx = 0. -∂h- + y˙(x1) ∂h-- ∂ ˙y -∂h- + y˙(x1) ∂h-- x1 ∂y1 ∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂y1
(32)

En utilisant dans (31) les relations

( ) -1 dg = ∂g-dx + ∂g-dy = 0 ⇒ dy2-= - ∂g-. -∂g- = ˙φ(x ), ∂x2 2 ∂y2 2 dx2 ∂x2 ∂y2 2
(33)

on retrouve facilement (29), et finalement (30) pour notre définition particulière de F.

Toujours pour la brachistochrone, d’après (27) on voit que

∂F-- ∂F-- ∂y = - ∂y1 ,
(34)

donc avec (25) l’intégrale dans (32) peut se simplifier et on trouve

( ) ∂F-- ∂h-- ∂F-- -∂h- ∂y˙ |x2 ∂x1 + ∂ ˙y ˙y - F |x1 ∂y1 = 0.
(35)

Comme F ne dépend pas explicitement de x, on peut utiliser l’identité de Beltrami (26), par conséquent l’expression entre parenthèse calculée en x1 est constante et donc la même en x2, et on obtient pour finir

( ( ) -1) 1 - ˙y(x2) -∂h-. ∂h-- = 0, ∂x1 ∂y1
(36)

et grâce à une relation similaire à (33), on en déduit bien que la tangente à la courbe de départ est perpendiculaire à la tangente à la courbe brachistochrone au point d’arrivée, et par conséquent parallèle à la tangente à la courbe d’arrivée au point d’arrivée (figure 2).

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