2 Solution semi-analytique

2.1 Formalisme de base

On cherche à décrire la trajectoire d’un mobile M, de masse m, soumis à la pesanteur, en tenant compte de la résistance de l’air. Pour cela, on utilise le repère de Frénet (figure 1).


PIC

FIGURE 1: Trajectoire et repère de Frénet


La vitesse initiale et l’angle de départ sont respectivement v0 et α0. Dans ce repère, le rayon de coubure vaut r = -ds∕dα, la vitesse v = ds∕dt = ds∕dα.dα∕dt = -rdα∕dt est portée par la tangente T à la trajectoire, et l’accélération se décompose sur T et sur la normale à la trajectoire N en

(
|{  γT =  dv,
         dt2
|(  γ  =  v--= - vdα-.
    N    r        dt
(1)

La résistance de l’air est caractérisée par une force R(v) qui s’oppose au mouvement, colinéaire à ⃗v mais de sens opposé. Par conséquent, on obtient comme équations du mouvement :

(
|{  m dv-=  - mg sinα - R (v),
     dt
|(  vd-α = - g cosα.
     dt
(2)

On en déduit

1dv              R (v)
---- = tan α + ---------,
vdα            mg  cosα
(3)

il s’agit de l’équation fondamentale de la balistique, parfois appelée «équation de l’hodographe» [9].

2.2 Calcul de la vitesse

Pour R(v) = λvn, l’équation (3) est une équation différentielle de Bernoulli. On peut la résoudre par exemple grâce à une méthode proposée par Legendre [1011] (une autre méthode est présentée dans [12] directement pour n = 2, et historiquement Leibniz est le premier à avoir résolu ce type d’équation dès 1696). En posant

1--
vn = pq,
(4)

on obtient après différenciation -n1-
vdv-
vn = pdq + qdp, et l’équation (3) peut se mettre sous la forme

p(dq + nqtan αd α) + qdp + n----λ----dα = 0.
                            mg  cosα
(5)

On annule le coefficient de p, ce qui conduit à dq
---
 q = -n tan αdα, soit q = cos nα. On obtient alors dp = -1
--
qn    λ
---------
mg  cosα= -    nλ
------------
mg cosn+1 α, et par intégration

p = - -nλ-∫ α ---du--- + p  = p(α) + p ,
      mg   α0 cosn+1 u    0           0
(6)

la constante p0 étant déterminée à l’aide des conditions initiales sur v. Pour α = α0, v(α) = v0, et d’après (4) 1--
vn0 = (p(α0) + p0).q = p0 cos nα 0 (car p(α0) = 0), on en déduit

          1
p0 = --n---n---,
     v0 cos α0
(7)

on peut alors expliciter la formule (4) :

                 ∫
1      n λcosn α   α    du        cosnα
vn-= - ---mg----     cosn+1u-+  vn-cosnα--.
                  α0             0      0
(8)

2.3 Application à la résistance de l’air

Comme on l’a précisé en introduction, la résistance de l’air peut être traitée avec n = 2.

On a donc p0 = ----1-----
v20 cos2 α0 et

         2λ--∫ α -du---    -λ--[       u-   π-    -sin-u-]α
p(α) = - mg   α  cos3u = - mg   ln(tan( 2 + 4 )) + cos2 u    ,
               0                                         α0
(9)

soit

            2  [                        ]α         2
1--    λ-cos-α-         u-  π-    -sin-u-      --cos-α---
v2 = -   mg     ln(tan( 2 + 4 )) + cos2 u α  + v20 cos2α0.
                                          0
(10)

Après un temps suffisamment long, on sait que α doit tendre vers -π∕2. On peut donc trouver la vitesse limite de chute :

       1       λ           λ
αl→i-mπ∕2 v2-= - mg-.sin α = mg--,
(11)

on retrouve ainsi le résultat connu dans le cas d’une chute libre [13], à savoir

      ∘  ----
         mg
vlim =    ----
          λ
(12)

(les forces de frottement compensent la gravitation, la vitesse reste donc constante).

On a donc pour finir

 2      ------(---------------v20-cos2α0--------------------)--
v (α) =               2        [                        ] α  .
        cos2α   1 - -v0-cos2 α0  ln (tan (u-+ π-)) + sinu--
                    v2lim                 2   4      cos2u  α0
(13)

Le calcul de la position se fait à l’aide des équations

(
|{  dx = v(α )cosαdt =  - 1v2(α)dα
                         g
|(                       1- 2
   dy = v(α) sin αdt = - g v (α)tan αdα
(14)

et par intégration on trouve

(           ∫ α
|||  x =  - 1-   v2(u )du +  x0
|{         g∫ α0
          1-  α 2
|||  y =  - g    v (u) tan(u)du + y0
|(            α0
(15)

En conclusion, on est passé du système d’équations différentielles couplées  (2) et (14)

(
||  x˙=  vcos α
|{  y˙=  vsinα
   v˙=  - g sin α --λv2
|||          cosα   m
(  α˙=  - g-----
             v
(16)

à une formule analytique (13) et deux calculs d’intégrales (15) pour obtenir x et y. Nous allons donc pouvoir étudier l’influence des frottements sur la distance que peut parcourir un projectile.

2.4 Longueur de l’arc parcouru

Bien que cela ne soit en rien utile à la suite de l’étude, il est intéressant de constater qu’à partir des équations déjà établies, on peut assez facilement déterminer l’abscisse curviligne s parcourue en fonction de α [12]. En effet, en comparant (1) et (2), et en utilisant le fait que ds = -rdα, on obtient

v2                      v2
r--= g cosα ⇒  ds = - g-cosα-dα,
(17)

et donc avec (13)

        ∫ α -------(--------------v20-cos2α0---------------------)--
ds = -   α                v2        [        u   π      sinu ]α   d α.
          0 gcos3α   1 - -20-cos2 α0  ln(tan (--+ --)) +------
                         vlim                 2   4     cos2 u α0
(18)

Or d’après (9), l’intégrand dans (18) est de la forme u∕u, et ds peut donc s’intégrer aisément sous la forme

           (                 [                       ]  )
     v2lim-        -v20-    2           u-  π-     sinu-- α
s =  2g  ln  1 - v2   cos α0  ln (tan (2 + 4 )) + cos2u      .
                  lim                                   α0
(19)

Il semble que Euler soit le premier à avoir obtenu cette expression (voir l’avant-propos dans [2]).