À un jour donné de l’année correspond une valeur δs de la déclinaison. Pour une valeur de la déclinaison, l’extrémité de l’ombre du style suit une trajectoire bien précise. On a déjà vu précédemment que dans le cas particulier des équinoxes (δs = 0), cette trajectoire était une droite.
On va noter 
le vecteur unitaire indiquant la position
du Soleil, en choisissant comme axe 
le méridien local et comme
sens positif la direction vers laquelle pointe le style, donc le
Nord. D’après le système (3
) 
a pour composantes dans ce nouveau
repère
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(23) |
Le vecteur 
représentant le style
s’écrit quant à lui
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(24) |
Le produit scalaire de ces deux vecteurs donne
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(25) |
il s’agit donc d’une constante (pour
un jour donné) ! De cette dernière
relation, on peut conclure que pour une déclinaison
fixée, la surface balayée par le rayon vecteur
au cours
d’une journée définit un cône de
révolution dont l’axe est le style incliné
(en réalité, il s’agit plutôt de
l’axe de rotation de la Terre, mais vu du Soleil, on peut
considérer qu’ils sont confondus), dont le sommet
est l’extrémité B′ du style, et dont le demi-angle
d’ouverture au sommet vaut π∕2 -
δs (figure 4
). Cet angle peut être
facilement visualisé sur la figure 1(a)
en se souvenant que le style
OB′ est parallèle à
l’axe des pôles.
Les lignes de déclinaison vont ainsi être définies comme l’intersection du cône précédemment défini et du plan horizontal du cadran solaire. D’un point de vue purement mathématique, cette intersection peut être un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
Par construction, si l’on
considère un point M
de la ligne de déclinaison (ses coordonnées sont
(x,y,0)), alors 
et 
sont colinéaires
(M est la projection de
B′ dans le plan suivant la direction
du Soleil 
, autrement dit l’ombre du sommet B′ du style). On en déduit
donc
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(26) |
Sachant que
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(27) |
après élévation au carré on trouve
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(28) |
Après mise en forme et en profitant du fait que cos2φ - sin2δs = cos2δs - sin2φ, on obtient finalement
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(29) |
Pour des latitudes où le Soleil se couche tous les jours de l’année, on a cos2δs - sin2φ > 0, et on peut alors simplifier l’équation (29) en
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(30) |
avec
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(31) |
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(32) |
et
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(33) |
L’équation (30) représente une hyperbole (voir figure 5). Ses asymptotes sont
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(34) |
et elles se croisent au point (x0,0). On peut vérifier qu’on a bien, conformément à l’équation (22 ) :
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(35) |
Les points de coordonnées (x0 ± a,0) (situés sur la courbe) sont nommés vertex.
Il est surprenant de constater que x0 est la longueur moyenne de l’ombre à midi vrai pour les déclinaisons δs et -δs. En effet,
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(36) |
On peut remarquer de façon plus
générale que x0
et les pentes ±
des asymptotes sont invariantes
par la transformation δs →-δs. Les lignes de déclinaison
δs et -δs correspondent donc aux deux branches de
la même hyperbole.
On peut tracer les lignes de déclinaison grâce à la formule
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(37) |
Pour δs = 0, on obtient a = 0, et donc l’équation (37 ) se réduit à x = x0, ce qui est bien une droite. Par ailleurs on vérifie bien que x0 = L∕(sinφcosφ), ce qui est conforme à l’équation (18 ).
Si l’on se trouve à une latitude où le Soleil ne se couche pas un jour de déclinaison δs, alors cos2δs - sin2φ < 0, et l’équation (29 ) est alors celle d’une ellipse :
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(38) |
avec
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(39) |
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(40) |
et
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(41) |
La transition entre la période où le Soleil se couche et la période où il ne se couche pas se fait lorsque cos2δs - sin2φ = 0, c’est-à-dire le jour où δs = π∕2 - φ dans l’hémisphère nord et δs = -π∕2 - φ dans l’hémisphère sud. Dans ce cas, l’équation (29 ) n’est pas utilisable (le dénominateur des différents termes est nul) et il faut alors revenir à l’équation (28 ), qui se simplifie pour donner (toujours en utilisant cos2φ - sin2δs = cos2δs - sin2φ) :
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(42) |
La trajectoire décrite par l’ombre de l’extrémité du style ce jour particulier est donc une parabole.
À l’aide des équations (30 ) et (38), on peut alors calculer facilement les lignes de déclinaison pour une latitude fixée. Nous avons choisi une latitude de 78°, pour laquelle il arrive que le Soleil ne se couche pas (et donc ne se lève pas également). Le résultat est présenté sur la figure 6 . Les lignes ont été calculées pour les 20 mars, 30 mars, 21 avril, 11 juin et 2 octobre. Le point de contact entre le style et le plan horizontal est symbolisé par une croix.
On observe quatre types de courbes : l’hyperbole, les 30 mars et 2 octobre, la ligne droite pour l’équinoxe, l’ellipse le 11 juin, et la parabole le 21 avril puisque ce jour là on a δs = 90°- φ = 12°.
au cours d’une
journée.
