Formules de Binet

On a vu auparavant l’expression de la vitesse en coordonnées polaires avec l’équation (1.10) :

{ vρ = ˙ρ, vθ = ρ˙θ,

(4.5)

d(1) dρ- dρdθ- dρ-˙ dρ-C-- --ρ-- ρ˙= dt = dθdt = dθ θ = dθ ρ2 = - C dθ ,

(4.6)

par conséquent

( ||| d(1) { v = - C --ρ-, ρ dθ |||( C- vθ = ρ ,

(4.7)

et la première formule de Binet s’exprime sous la forme

|--------(------(------)--)--| | 1 2 | | | 1 | d( ρ)| | | |v2 = C2 |( -2-+ |( -----|) |) .| | ρ d θ | ------------------------------

(4.8)

L’accélération est par définition uniquement radiale, donc d’après (1.11)

a = ρ¨- ρ ˙θ2, ρ

(4.9)

mais d’après (4.3)

2 C2 C2 ρθ˙ = ρ -4-= -3-, ρ ρ

(4.10)

et partant de (4.6),

d (1) d2(1) d- d-dθ- -d- ˙ -d- ---ρ- C-- C2- ---ρ-- ¨ρ = dtρ˙= dθdt ˙ρ = dθ ˙ρθ = dθ (- C d θ )ρ2 = - ρ2 dθ2 .

(4.11)

On obtient ainsi la deuxième formule de Binet :

|---------(-----------)---| | d2(1) | | C--|| 1- ---ρ-|| | aρ = - ρ2 ( ρ + dθ2 ) .| | | ---------------------------

(4.12)