Loi des aires

4.1 Loi des aires

On calcule

-d ⃗ ⃗ ⃗ dt(OM ∧ ⃗v) = ⃗v ∧ ⃗v + OM ∧ ⃗γ = 0,

(4.1)

donc = O⃗M ∧ est constant, et .( O⃗M ∧) = . = 0, ce qui implique que la trajectoire est plane (résultat de cinématique) !

Pour les calculs, nous allons donc travailler en coordonnées polaires (voir la partie 1.3).

2 OM⃗ ∧ ⃗v = ρ θ˙⃗ez,

(4.2)

on en déduit

2 ˙ ρ θ = C

(4.3)

où C est une constante, dont la signification s’obtient en calculant dS = O⃗M ∧dt = ρ²dt, par conséquent

dS- 1- 1-2 ˙ dt = 2 C = 2ρ θ,

(4.4)

Cdt est le double de la surface élémentaire dS balayée par le rayon vecteur O⃗M pendant l’intervalle de temps dt. Il s’agit de la deuxième loi de Kepler.

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