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4.3 Accélération newtonienne

Choisissons une accélération décrite par

μ aρ = - -2- ρ
(4.13)

(μ > 0, donc l’accélération est bien dirigée vers le centre O). Dans ces conditions, en posant u = 1- ρ, on obtient avec la deuxième formule de Binet (4.12)

2 d2u- 2 - Cu (u + dθ2) = - μu ,
(4.14)

soit encore

2 d-u- μ-- dθ2 + u = C2,
(4.15)

et la solution est

μ-- u = αcos(θ - ω ) + C2.
(4.16)

En posant e = αC2∕μ, on trouve finalement

C2- ρ = --------μ------- = -------p--------, 1 + e cos(θ - ω ) 1 + e cos(θ - ω )
(4.17)

ce qui est l’équation d’une conique d’excentricité e et de paramètre p. Les constantes arbitraires α et ω introduite dans (4.16) sont déterminées à partir des conditions initiales, et il est toujours possible de choisir α > 0 et donc e > 0, car si on obtient α < 0, il suffit alors de remplacer ω par ω + π [1].

Utilisons à présent la première formule de Binet,

2 2 2 du- 2 v = C (u + (dθ ) ) (4.18) 2 = μ--(1 + e2 + 2e cos(θ - ω )) (4.19) C2 μ2- 2 = C2 (2 + 2e cos(θ - ω) + e - 1) (4.20) 2 2 = μ--(2C--+ e2 - 1) (4.21) C2 μρ μ 2 μ2 = 2--+ (e - 1)--2, (4.22) ρ C
et finalement on en déduit
2 v2 - 2μ-= (e2 - 1)-μ-. ρ C2
(4.23)

Le second membre est constant, on en déduit donc que le premier membre l’est également, et que par conséquent sa valeur ne dépend que des valeurs initiales de v et de ρ. Plus précisément, ce sont ces valeurs initiales qui vont déterminer le type de trajectoire, à savoir

Il est remarquable que pour une distance initiale ρ0, seule le module de la vitesse détermine le type de la trajectoire, et en aucun cas sa direction [2].

Le cas où la trajectoire est une ellipse correspond à la première loi de Kepler. Ce cas nous permet également de retrouver la troisième loi de Kepler. Par intégration sur une période T, l’équation (4.4) donne

C S = --T, 2
(4.24)

et la trajectoire étant une ellipse, on sait aussi que

S = πab
(4.25)

où a et b sont les demi grand axe et demi petit axe de l’ellipse. On montre par ailleurs que b = √--- ap avec p le paramètre de l’ellipse, déjà défini par l’équation (4.17), on en déduit

C-T = πa3∕2√p--= πa3∕2√C--, 2 μ
(4.26)

ce qui conduit après élévation au carré à

2 2 T--= 4π-- a3 μ
(4.27)

Or μ étant une constante caractéristique de la cause de l’accélération, on en déduit bien la troisième loi de Kepler, qui dit que le rapport T2∕a3 est constant pour les planètes gravitant autour du Soleil.

Remarque : on a supposé auparavant μ > 0, mais pour les forces coulombiennes, il est possible d’avoir μ < 0. Dans ce cas, on a toujours v02 - 2μ --- ρ0 > 0, et la trajectoire d’une particule chargée subissant une accélération due à une particule chargée de même signe sera une branche d’hyperbole.

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