3 Étude des solutions

D’après la figure 2, on voit que pour η > η_min, il existe deux valeurs de u qui vérifient (6). La première vérifie u ]0; u₀] et la seconde u [u₀; +∞[. La surface de la caténoïde vaut

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On peut montrer analytiquement que c’est la solution u la plus petite (et donc la valeur c la plus grande) qui engendre la surface minimale [5]. La seconde valeur de u correspond à une surface maximale.

Ceci peut encore se vérifier graphiquement. En utilisant (2) dans (1), on obtient

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et on peut observer comment la surface S′ générée par cette courbe varie lorsque le paramètre c varie librement [5]. On trouve

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On a tracé sur la figure 4 la valeur de S′ normalisée par la surface de la solution de Goldschmidt, c’est-à-dire S′∕2πb², pour différente valeur de η, en fonction de c∕b.

Sur cette même figure, on a également représenté les valeurs de S′ normalisées pour les valeurs = u solutions de (6) en pointillé. Plusieurs commentaires peuvent être faits :

• pour η < η_min, le minimum de la surface correspond bien à la solution de Goldschmidt, il n’y a pas de minimum correspondant à la solution « caténoïde »,
• pour η = η_min, il existe un point d’inflexion pour S′, le lieu des solutions de (6) est tangent à cette courbe pour c∕b = 1∕(η_minu₀) = 0, 552434,
• pour η > η_min, le lieu des solutions de (6) coupe chaque courbe en deux endroits particuliers : le maximum de S′ (pour c petit donc u grand) et le minimum de S′ (pour c grand donc u petit).

Concernant ce dernier points, il faut bien voir que le minimum peut n’être que local. Ainsi pour η = 1, 818, la solution de Goldschmidt est bien celle qui donne la surface minimale, mais il existe un minimum local pour c∕b ≈ 0, 805. On peut alors chercher à quelle condition la solution de (6) correspond à celle de Goldschmidt. Pour cela, il suffit de poser

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puis à l’aide de (2) et en définissant

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on arrive à l’équation [6]

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dont la solution est

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Sachant que a∕c = argcosh(b∕c) on en déduit que a∕b = a∕c × c∕b = argcosh(ρ)∕ρ et donc

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La courbe correspondante a été tracée sur la figure 4, on voit bien que ses deux minima sont égaux et valent 1.