On choisit un nouveau repère attaché au point M, à savoir (M,τ,N), où τ est tangent à la trajectoire, N est tel que τ.N = 0 (donc obtenu par rotation de π∕2 dans le sens direct du vecteur τ). Localement, le cercle osculateur à la trajectoire (cercle qui décrit au mieux la courbure de l’arc ds) a pour rayon R, on peut écrire ds = Rdφ et on montre que
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À partir de l’abscisse curviligne s (longueur de la trajectoire de M depuis l’origine M0), on peut déduire
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même si bien souvent, on détermine s à partir de ṡ = |||| (voir l’exemple de la cycloïde) :
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L’accélération peut également s’écrire
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avec