1.5 Coordonnées curvilignes

On choisit un nouveau repère attaché au point M, à savoir (M,⃗eτ,⃗eN), où ⃗eτ est tangent à la trajectoire, ⃗eN est tel que ⃗eτ.⃗eN = 0 (donc obtenu par rotation de π∕2 dans le sens direct du vecteur ⃗eτ). Localement, le cercle osculateur à la trajectoire (cercle qui décrit au mieux la courbure de l’arc ds) a pour rayon R, on peut écrire ds = Rdφ et on montre que

d⃗e-τ   d⃗eτ-ds-  -1d-⃗eτds-    1-
 dt =  ds  dt = R  dφ dt =  ˙sR ⃗eN
(1.16)

À partir de l’abscisse curviligne s (longueur de la trajectoire de M depuis l’origine M0), on peut déduire

⃗v = ˙s⃗eτ,
(1.17)

même si bien souvent, on détermine s à partir de = ||⃗v|| (voir l’exemple de la cycloïde) :

    ∫
s =   s˙dt.
(1.18)

          s˙2
⃗γ = ¨s⃗eτ + R-⃗eN .
(1.19)

L’accélération peut également s’écrire

⃗γ = γ τ⃗eτ + γN ⃗eN ,
(1.20)

avec

 |γτ|  =   |⃗γ.⃗v|-                                (1.21)
          ||⃗v ||
          ||⃗γ ∧ ⃗v||
|γN|  =   --------                             (1.22)
            ||⃗v||