2.3 Rotation autour d’un axe

On suppose que le référentiel Rest en rotation autour d’un axe fixe Δ dans R. On choisit ⃗ez et ⃗ez de sorte à ce qu’ils soient confondus avec l’axe de rotation Δ. Les origines O et Osont confondues, ainsi que les plans définis par ⃗ex,⃗ey et ⃗ex,⃗ey.

Dans le repère R, OM⃗ = x⃗ex +y⃗ey +z⃗ez, et dans le repère tournant R, O⃗M = x⃗ex +y⃗ey +z⃗ez. On appelle φ l’angle que font les vecteurs ⃗ex,⃗ex et ⃗ey,⃗ey.

On définit le vecteur ⃗Ω porté par l’axe de rotation et de module φ˙ (vitesse angulaire de rotation du repère Rpar rapport à R). Donc

⃗Ω = φ˙⃗ez
(2.7)

et on montre que

d⃗ex′           d⃗ey′
---- = ⃗Ω ∧ ⃗ex′,---- = ⃗Ω ∧ ⃗ey′.
 dt             dt
(2.8)

La position de M dans Rs’exprime comme

O⃗M   = x′⃗ex′ + y′⃗ey′ + z′⃗ez′.
(2.9)

La loi de composition des vitesses s’obtient en dérivant la relation (2.9) par rapport au référentiel R :

dOM⃗--     dx′      dy′     dz′       ′d-⃗ex′   ′d⃗ey′
  dt  |R=  dt ⃗ex′ + dt ⃗ey′ + dt ⃗ez′ + x dt + y  dt ,
(2.10)

d’où

⃗v     = ⃗v    ′ + ⃗v ,
  M∕R    M ∕R     e
(2.11)

avec la vitesse de M dans R

           ′       ′        ′
    ′   dx-  ′   dy-  ′   dz-  ′
⃗vM∕R  =  dt ⃗ex + dt ⃗ey + dt ⃗ez,
(2.12)

et ⃗ve la vitesse d’entraînement :

⃗ve = ⃗Ω ∧ O⃗M  .
(2.13)

Pour l’accélération, on dérive dans R la relation (2.10) et on trouve

⃗γ     = ⃗γ    ′ + ⃗γ + ⃗γ ,
 M ∕R    M ∕R    e    c
(2.14)

avec l’accélération de M dans R :

         d2x′      d2y′     d2z′
⃗γM ∕R′ = dt2-⃗ex′ + dt2-⃗ey′ +-dt2 ⃗ez′,
(2.15)

l’accélération d’entraînement ⃗γe (qui n’est pas la dérivée de la vitesse d’entraînement ⃗ve) :

      ′d2⃗ex′    ′d2⃗ey′   d-⃗Ω    ⃗     ⃗    ⃗    ⃗
⃗γe = x  dt2 + y  dt2  =  dt ∧ OM   + Ω ∧ (Ω ∧ OM  ),
(2.16)

et l’accélération de Coriolis :

      ⃗             ⃗
⃗γc = 2Ω ∧ ⃗vM ∕R′ = 2 Ω ∧ (⃗vM∕R - ⃗ve).
(2.17)