3.3 Mouvement unidimensionnel

3.3.1 Sans frottements

Cas bien connu, pour une particule de masse m

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Pour simplifier, on choisit z₀ = 0. Par conséquent, la hauteur maximale est obtenue pour v = 0, donc

(3.8)

le temps pour y parvenir est

(3.9)

et la vitesse de la particule lorsqu’elle repasse par z = 0 est v = -v₀, après un temps de parcours t_total = , donc le temps de chute est

(3.10)

le temps de montée est égal au temps de descente.

3.3.2 Frottements proportionnels à la vitesse

Résistance : F = -λv. Vitesse limite : mg = λv₁ ⇒ v₁ = . Lancer en l’air avec vitesse initiale v₀ (en fait l’équation est indépendante de la direction de lancer, on obtient la même pour un lancer vers le bas avec une vitesse initiale v₀ négative).

(3.11)

(3.12)

(3.13)

Temps de montée (v = 0 dans (3.12))

(3.14)

Hauteur max

(3.15)

Temps de descente : on fait h = 0 dans (3.13), et on doit résoudre

(3.16)

qui est une équation transcendante, donc il n’y a pas de solution explicite !

Si on fait tendre λ vers 0, alors v₁ tend vers l’infini, et on peut utiliser le développement limité

(3.17)

afin de vérifier qu’on retrouve bien les résultats de la partie 3.3.1 (au moins pour t_a et h_max.

On peut quand même calculer l’instant t_b pour lequel v = -v₀ à l’aide de (3.12) (avec 0 < v₀ < v₁, sinon il n’y a bien sûr pas de solution car la vitesse de chute en valeur absolue reste plus faible de v₁), et on obtient

(3.18)

ce qui correspond à une altitude

(3.19)

et en considérant v₀ << v₁ on a

(3.20)

(3.21)

qui est donc négatif. Par conséquent en z = 0, t < t_b, et la vitesse est inférieure (en module ) à v₀, ce à quoi on pouvait s’attendre (à cause des frottement, le système perd de l’énergie).

Si on calcule h(2t_a) on trouve

(3.22)

soit en effectuant le développement limité en v₀

(3.23)

qui est une quantité positive, par conséquant 2t_a < t_total < t_b et t_a < t_a′ < t_b - t_a avec

(3.24)

En comparant (3.21) et (3.23), on voit que |h(t_b)| = 2|h(2t_a)| (au premier ordre en v₀), donc en utilisant une approximation linéaire pour h entre 2t_a et t_b, on peu en déduire

(3.25)

et

(3.26)

soit encore en développant en série

(3.27)

Si on injecte (3.25) dans le membre de droite de (3.16), on peut alors recalculer t_total, et la différence du développement limité de cette expression avec celui de (3.25) a pour premier terme , qui est très petit si v₀ << v₁, donc l’expression (3.25) est acceptable.

3.3.3 Frottements proportionnels au carré de la vitesse

Résistance : F = -λv². Vitesse limite : mg = λv ₁² ⇒ v ₁ = .

Chute

Chute avec vitesse initiale v₀ (v₀ < 0 !) :

(3.28)

(3.29)

puis par intégration, en utilisant la propriété cosh(Argthx) = 1∕

(3.30)

En développant tanh(a + b) dans l’équation (3.29), on obtient une nouvelle expression pour la vitesse :

(3.31)

et par intégration, on trouve une expression plus simple pour z,

(3.32)

Si v₀ = 0, on a simplement

(3.33)

Lancer vers le haut puis chute

Lancement vers le haut avec une vitesse initiale v₀ > 0 :

(3.36)

(3.37)

Temps de montée (v = 0 dans (3.37) )

(3.40)

Hauteur maximale (v = 0 dans (3.39))

(3.41)

Vitesse de retour à la position initiale (en égalant les valeurs absolues des valeurs données par (3.35) et (3.41)) :

(3.42)

Temps pour redescendre à la position initiale (à partir de (3.33) avec v = v_0′ en utilisant la relation Argthx = ln , ou à partir de (3.34) et (3.41) en utilisant la relation Argch = Argshx) :

(3.43)

En résumé :

(3.44)

(3.45)

FIG. 3.1: et

On peut remarquer que contrairement au cas des frottements proportionnels à v (partie 3.3.2), nous avons obtenu des solutions analytiques rigoureuses pour t_a′ et v_0′.

Par contre, comme dans le cas des frottements proportionnels à la vitesse, on peut faire tendre λ vers 0, et donc v₁ vers l’infini, et les développements limités des fonctions ln, Argsh et Argth permettent de retrouver les résultats de la partie 3.3.1.