Réduction à l’équateur - formule en tan 2ε- 2

Alexandre Vial

4 octobre 2006

1 Rappels

Soit y = arctan( ) tan-x- cosθ. Dans [1], il est montré que

dy- -----cosθ------ f (x) = dx = 1 - sin2θ cos2x
 (1)

peut s’exprimer sous la forme d’une série de Fourier :

∑∞ θ f(x) = 1+ 2 tan2n -cos 2nx. n=1 2
 (2)

Par intégration, on peut alors exprimer y sous forme d’une somme.

2 Le problème

Dans le cadre du calcul de la contribution de l’obliquité de la Terre à l’équation du temps, on a la relation suivante entre l’ascension droite du Soleil αs et sa longitude écliptique λs :

αs = arctan(tanλs cosε),
 (3)

avec ε l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre, et on cherche à déterminer R = αs - λs.

Considérons la fonction y = arctan(tanx.cosθ). Sa dérivée vaut

dy cosθ g(x) = ---= ------2----2--. dx 1- sin θ sin x
 (4)

On a donc g(x) = f(x - π∕2). Par conséquant, on peut écrire

∑∞ g(x) = 1 + 2 tan2n θ-cos2n(x - π∕2), n=1 2
 (5)

soit encore, sachant que cosnπ = (-1)n (n entier) :

∑∞ n 2n θ g(x) = 1 + 2 (- 1) tan 2-cos2nx. n=1
 (6)

Par intégration et remplacement des variables par les quantités pertinentes pour le problème, on obtient donc finalement

∑∞ n R = (--1)-tan2n εsin2n λs. n=1 n 2
 (7)

Généralement, la formule présentée ne retient que trois termes :

R = - tan2 εsin2λ + 1-tan4 ε-sin 4λ - 1tan6 εsin6λ + ... 2 s 2 2 s 3 2 s
 (8)

Références

[1]    M. Mueller. Equation of time - problem in astronomy. Acta Phys. Pol. A, 88:S–49, 1995. http://info.ifpan.edu.pl/firststep/aw-works/fsII/mul/mueller.html.