Cadran oriental/occidental

Alexandre Vial

8 octobre 2006

1 Rappel

La position du Soleil est définie dans le plan local horizontal (axe x orienté suivant la direction Sud-Nord) par le vecteur ⃗s (cf BUP 1) :

( ) | - (sin φ cosδscos H - cos φ sin δs) | ⃗s = ( - (cosδssinH) ) . cosφ cosδs cosH + sin φ sin δs
(1)

2 Projection dans le plan

Pour un cadran oriental/occidental, la table est dans le plan y = 0, et le style peut être remplacé par une tige perpendiculaire à la table, dont l’extrémité est à une distance α de la table. L’ombre de l’extrémité dans le plan défini auparavant a pour coordonnées (projection sur un plan parallèlement à une droite) :

(| sinφ cos δ cosH - cosφ sinδ |||| x = α----------s-----------------s { cos δssin H || y = 0 |||( z = - α cosφ-cosδs-cosH-+-sin-φ-sin-δs cosδs sin H
(2)

À l’aide d’un changement de repère par rotation de θ = -(π∕2 -φ), on se ramène à quelquechose de plus simple :

( || x′ = α--1--- ||{ tan H y′ = 0 |||| ′ tanδs- ( z = - α sinH
(3)

On vérifie bien que z2 - x2 tan 2δ s = α2 tan 2δ s (cf BUP 3).

Pour un cadran oriental, on prend α négatif, et on le choisit positif pour un cadran occidental.

Le résultat obtenu en tenant compte de l’équation du temps est présenté sur la figure 1.

PIC

Fig. 1: Les deux faces d’un cadran solaire oriental/occidental.

Rappel : si le repère effectue une rotation autour de l’axe ⃗y d’un angle θ, alors les nouvelles coordonnées de M sont :

( ′) ( ) ( ) | x | | cosθ 0 sinθ | | x | ( y′) = ( 0 1 0 ) ( y ) z′ - sin θ 0 cosθ z
(4)