Cadrans déclinants

Alexandre Vial

26 août 2005

1 Formules de base

Je pars des formules publiées par O. Tomas [1].

{                    - sinθcosicosH -(cosφsini-sinφ cosθcosi)sinH
   xq  =  κCIq  cosδ ---Asin-δ--BcosδcosH--sinθsinicosδsinH-----
   yq  =      κCIq cos δ-----cosθ-cosH+sinφsinθ-sinH------
                        Asin δ- BcosδcosH -sinθsinicosδsinH
(1)

avec

{
  A   =   cosφ cosθ sin i - sinφ cosi
  B   =   sin φcos θsini + cosφ cosi
(2)

et

{
  κ   =  +1  si A > 0
  κ   =  - 1 si A < 0
(3)

(pour rappel : δ est la déclinaison, H l’angle horaire, φ la latitude, i l’inclinaison de la table, θ la déclinaison, CIq la longueur du style).

2 Calculs complémentaires

2.1 Lignes de déclinaison

Avec les formules précédentes, on peut tracer les lignes de déclinaisons, même lorsque le Soleil est couché. On sait que l’angle horaire pour lequel le Soleil se lève ou se couche est calculé avec la formule

cosH  = - tan φ tan δ
(4)

et que par ailleurs à ce moment là

           sin δ
cos A = - -----.
          cos φ
(5)

En remplaçant cos H dans l’équation (1) par la formule (4), on obtient1 (il n’y a pas besoin de chercher à exprimer sin H pour obtenir ce résultat) :

 lim          qsin-φ-
y   =  - κCI  sin i
(6)

qui est la valeur supérieure de yq défini par l’équation (1) si l’on ne trace les courbes que lorsque le Soleil est au dessus de l’horizon. Il est remarquable que cette valeur soit indépendante de δ, d’un autre coté lorsque le Soleil se lève ou se couche, on est dans le cas limite h = 0 et la position de l’ombre de l’extrémité du style correspond à la projection horizontale de cette dernière sur la table du cadran, donc c’est finalement tout à fait normal.

2.2 Lignes horaires

Pour déterminer les lignes horaires utiles, on doit également déterminer, pour un plan dont la normale a pour azimut A, pour quelles valeur de l’angle horaire H celui-ci peut-être éclairé. Pour l’instant, on se contentera du cas i = π∕2 (cadran vertical méridional déclinant). Dans ce cas, on part de l’équation

                 sinH
tan A = -----------------------,
        sin φcos H - cos φ tan δ
(7)

et après mise au même dénominateur, élévation au carré et remplacement de sinH et cos H par les formules en tan H, on obtient une équation du second degré en tan 2H :

(1- tan2A cos2φ tan2 δ)tan2 H - 2 tanA sin φtan H - tan2A(cos2 φ tan2δ- sin2φ) = 0
(8)

En posant U = tan A tan δ cos φ et V = tan A sin φ, les solutions sont

{                 √ ---2--2-
  tan H1   =  V-+U-11--UU2-+V--
  tan H    =  V--U√-1--U2+V2
        2          1-U2
(9)

C’est la deuxième solution qu’il faut retenir (pour le vérifier, on injecte la solution H2 dans l’équation (7) et on doit retrouver la valeur initiale de A), la première correspond à l’équation (7) dans laquelle le signe moins au dénominateur est remplacé par un signe plus (le signe disparaît après l’élévation au carré). Mais il y a encore un petit problème : la valeur de H2 obtenue correspond à un azimut de A + π si A < -π∕2, car la fonction arctan donne les résultats dans l’intervalle [-π∕2,π∕2] et tan A = tan(A + π). On se retrouve donc avec des valeurs de H pour le soir alors qu’on cherche celle du matin. Par exemple dans le cas d’un mur dont l’azimut est -21 et qui est éclairé pour des azimuts allant de -111 à 69, l’application de la formule (9) fourni les valeurs de H pour A = 69 même si à l’origine on fournit comme valeur -111.

La ruse de Sioux à utilise consiste à prendre H2 - π, qui redonne bien la valeur de A π près quand même) initiale à condition d’effectuer le calcul avec -δ dans l’équation (7), ce qui revient alors à prendre la première solution obtenue en (9)...mais qui ne vérifie pas l’équation (7) avec δ, sauf si on prend H1 - π.

Donc pour résumer, il semble bien que la première solution fournisse H1 = H + π pour A ⁄∈] -π∕2,π∕2[, et que la deuxième fournisse H2 = H pour des azimuts A [-π∕2,π∕2].

2.3 Procédure de calcul

Pour tracer un cadran méridional déclinant (i = 90, θ quelconque) d’azimut θ en se limitant aux heures pendant lesquelles le Soleil est visible, on doit procéder comme suit :

La prochaine étape consiste à réfléchir au cas général i⁄=90.

3 Résultat

Calculs effectués pour une maison dont la face Sud a pour azimut -21 (figure 1).


PIC
(a) Face Ouest
PIC
(b) Face Est

PIC
(c) Face Sud
Fig. 1 –: Cadrans pour une maison dont l’azimut de la face Sud est -21.


Références

[1]    Orlando TOMAS. Les cadrans solaires et l’astrolabe planisphérique sans l’usage de la trigonométrie sphérique. Bull. Un. Phys, 868(1):1523–1576, novembre 2004.