Je pars des formules publiées par O. Tomas [1].
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(1) |
avec
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et
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(pour rappel : δ est la déclinaison, H l’angle horaire, φ la latitude, i l’inclinaison de la table, θ la déclinaison, CIq la longueur du style).
Avec les formules précédentes, on peut tracer les lignes de déclinaisons, même lorsque le Soleil est couché. On sait que l’angle horaire pour lequel le Soleil se lève ou se couche est calculé avec la formule
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et que par ailleurs à ce moment là
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En remplaçant cos H dans l’équation (1) par la formule (4), on obtient1 (il n’y a pas besoin de chercher à exprimer sin H pour obtenir ce résultat) :
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qui est la valeur supérieure de yq défini par l’équation (1) si l’on ne trace les courbes que lorsque le Soleil est au dessus de l’horizon. Il est remarquable que cette valeur soit indépendante de δ, d’un autre coté lorsque le Soleil se lève ou se couche, on est dans le cas limite h = 0 et la position de l’ombre de l’extrémité du style correspond à la projection horizontale de cette dernière sur la table du cadran, donc c’est finalement tout à fait normal.
Pour déterminer les lignes horaires utiles, on doit également déterminer, pour un plan dont la normale a pour azimut A, pour quelles valeur de l’angle horaire H celui-ci peut-être éclairé. Pour l’instant, on se contentera du cas i = π∕2 (cadran vertical méridional déclinant). Dans ce cas, on part de l’équation
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et après mise au même dénominateur, élévation au carré et remplacement de sinH et cos H par les formules en tan H, on obtient une équation du second degré en tan 2H :
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En posant U = tan A tan δ cos φ et V = tan A sin φ, les solutions sont
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C’est la deuxième solution qu’il faut retenir (pour le vérifier, on injecte la solution H2 dans l’équation (7) et on doit retrouver la valeur initiale de A), la première correspond à l’équation (7) dans laquelle le signe moins au dénominateur est remplacé par un signe plus (le signe disparaît après l’élévation au carré). Mais il y a encore un petit problème : la valeur de H2 obtenue correspond à un azimut de A + π si A < -π∕2, car la fonction arctan donne les résultats dans l’intervalle [-π∕2,π∕2] et tan A = tan(A + π). On se retrouve donc avec des valeurs de H pour le soir alors qu’on cherche celle du matin. Par exemple dans le cas d’un mur dont l’azimut est -21∘ et qui est éclairé pour des azimuts allant de -111∘ à 69∘, l’application de la formule (9) fourni les valeurs de H pour A = 69∘ même si à l’origine on fournit comme valeur -111∘.
La ruse de Sioux à utilise consiste à prendre H2 - π, qui redonne bien la valeur de A (à π près quand même) initiale à condition d’effectuer le calcul avec -δ dans l’équation (7), ce qui revient alors à prendre la première solution obtenue en (9)...mais qui ne vérifie pas l’équation (7) avec δ, sauf si on prend H1 - π.
Donc pour résumer, il semble bien que la première solution fournisse H1 = H + π pour A ⁄∈] -π∕2,π∕2[, et que la deuxième fournisse H2 = H pour des azimuts A ∈ [-π∕2,π∕2].
Pour tracer un cadran méridional déclinant (i = 90∘, θ quelconque) d’azimut θ en se limitant aux heures pendant lesquelles le Soleil est visible, on doit procéder comme suit :
La prochaine étape consiste à réfléchir au cas général i90∘.
Calculs effectués pour une maison dont la face Sud a pour azimut -21∘ (figure 1).