Le pendulon*

Alexandre Vial

23 novembre 2007

*Remerciements éternels à Dominique Barchiesi pour avoir trouvé ce nom le 10 octobre 2007 à 16h50.

On considère un pendule simple, mais on remplace le fil par un ressort. Pour le pendule simple, on a

  ¨
L θ + g sin θ = 0.
(1)

En coordonnées polaires, l’accélération s’écrit

           ˙2         ˙    ¨
⃗γ =  (ρ¨- ρ φ )⃗er + (2ρ˙φ + ρφ)⃗eφ.
(2)

Les projections suivant ⃗eρ et ⃗eφ donnent

(
{  ⃗e φ :  2ρ˙φ˙+ ρ ¨φ  =  - g sin φ,
                ˙2                k-
(  ⃗e ρ :   ¨ρ - ρφ    =  g cosφ -  m (ρ - ρ0).
(3)

On introduit les variables φ1 = φ, φ2 = φ˙ = φ˙1, ρ1 = ρ et ρ2 = ˙ρ = ˙ρ1, et on peut alors écrire le système (3) sous la forme

(
||  ˙φ1  =  φ2,
|||  ˙        -g-          ρ2-
{  φ2  =  - ρ1 sinφ1 - 2 ρ1φ2,
|  ˙ρ1  =  ρ2,
|||                           k
|(  ˙ρ2  =  ρ1φ22 + g cosφ1 - --(ρ1 - ρ0).
                            m
(4)

Pour limiter l’élongation du ressort, il est judicieux d’utiliser comme force de rappel quelquechose du genre

                    F
Δ ρ = ρ - ρ0 = tanh --
                    k
(5)

soit

                      (          3      5)
F =  k.Argth (Δρ ) ≃ k  Δ ρ + Δ-ρ-+  Δ-ρ-  .
                               3      5
(6)

Exemple : ω0 = 2π, ρ0 = 1.


PIC

FIG. 1: Variation des paramètres en fonction du temps.



PIC

FIG. 2: x et y.