Le pendulon*

Alexandre Vial

23 novembre 2007

*Remerciements éternels à Dominique Barchiesi pour avoir trouvé ce nom le 10 octobre 2007 à 16h50.

On considère un pendule simple, mais on remplace le fil par un ressort. Pour le pendule simple, on a

¨ L θ + g sin θ = 0.
(1)

En coordonnées polaires, l’accélération s’écrit

˙2 ˙ ¨ ⃗γ = (ρ¨- ρ φ )⃗er + (2ρ˙φ + ρφ)⃗eφ.
(2)

Les projections suivant ⃗eρ et ⃗eφ donnent

( { ⃗e φ : 2ρ˙φ˙+ ρ ¨φ = - g sin φ, ˙2 k- ( ⃗e ρ : ¨ρ - ρφ = g cosφ - m (ρ - ρ0).
(3)

On introduit les variables φ1 = φ, φ2 = φ˙ = φ˙1, ρ1 = ρ et ρ2 = ˙ρ = ˙ρ1, et on peut alors écrire le système (3) sous la forme

( || ˙φ1 = φ2, ||| ˙ -g- ρ2- { φ2 = - ρ1 sinφ1 - 2 ρ1φ2, | ˙ρ1 = ρ2, ||| k |( ˙ρ2 = ρ1φ22 + g cosφ1 - --(ρ1 - ρ0). m
(4)

Pour limiter l’élongation du ressort, il est judicieux d’utiliser comme force de rappel quelquechose du genre

F Δ ρ = ρ - ρ0 = tanh -- k
(5)

soit

( 3 5) F = k.Argth (Δρ ) ≃ k Δ ρ + Δ-ρ-+ Δ-ρ- . 3 5
(6)

Exemple : ω0 = 2π, ρ0 = 1.

PIC

FIG. 1: Variation des paramètres en fonction du temps.

PIC

FIG. 2: x et y.