Équations transcendantes et fonction de Lambert

Alexandre Vial

22 avril 2012

Résumé

On montre comment des équations transcendantes rencontrées en physique peuvent être résolues « analytiquement » grâce à la la fonction de Lambert.

1 Mouvement unidimensionnel
2 Corps noir
Références

1 Mouvement unidimensionnel

Mouvement unidimensionnel, force de la forme F⃗ = -λ⃗v, conditions initiales v(0) = v0 > 0, z(0) = 0, solutions

v(t) = (v  + v )e-t∕τ - v
         l   0         l
(1)

avec vl = mg∕λ [1] et τ = vl∕g,

z(t) = τ(v + v )(1 - e-t∕τ) - v t
          l   0               l
(2)

Temps de montée obtenu pour v = 0, soit

        (       )
↑             v0
t = τ ln  1 + vl
(3)

Temps de descente obtenu pour z = 0, solution triviale t = 0, sinon on doit résoudre

    (       )    (       )
t↓         v0           v0   -t↓∕τ
τ-=   1 + v-   -   1 + v-  e
           l            l
(4)

ce qui revient à

y = x + αf (y)
(5)

avec y = t ∕τ, x = (     v0)
  1 + vl, α = -(    v0)
 1 + vl et f(y) = e-y.

La solution s’écrit en utilisant le théorème d’inversion de Lagrange [2]

               (    )
        ∑∞  αn    d   n-1      n
y = x +     ---  ---     {f (x) }.
         n=1 n!  dx
(6)

Chaque terme de la somme peut s’exprimer comme

     1                   1
tn =  --(- n)n-1e-nxαn =  --(- n)n-1qn,
     n!                  n!
(7)

avec q = αe-x et (en utilisant α = -x)

     tn+1   ( n-+-1-)n- 1  -x
rn =  tn  =     n        xe  .
(8)

De plus

 lim  rn = xe-x+1 = - eq.
n→ ∞
(9)

Il y a donc convergence si |q|≤1
--
e. Comme x = (      )
 1 + vv0
      l > 1, c’est toujours vérifié !

Une approximation de t est donc

                            3
t↓ = τ(x - xe- x - x2e -2x --x3e- 3x - ...).
                            2
(10)

L’équation (7) correspond au développement en série de la fonction de Lambert W0(q), solution de l’équation z = W(z)eW(z) [34].

Par conséquent on la solution analytique

y =  x + W  (q) = x + W  (- xe -x).
           0            0
(11)

On peut calculer l’erreur relative de la valeur approchée de t :


PIC

FIGURE 1: Relative error on t for different values of v l∕v0 as a function of n


On voit que pour vl∕v0 inférieur à 0.5, un terme suffit pour obtenir une erreur inférieure à 1%.

2 Corps noir

Pour trouver la loi de déplacement de Wien, on dérive la loi du corps noir par rapport à la longueur d’onde, ce qui conduit à l’équation transcendante suivante :

     -a∕(λT)   1 a
1 - e       -  ---- = 0
               5λT
(12)

avec a = hc-
kB, soit encore en posant y = -a-
λT

                      -y
y = x + f(y) = x - xe
(13)

avec x = 5 et f(y) = -xe-y, on obtient donc exactement l’équation (5).

La solution analytique est donc

                             -5
y = x + W0 (q) = 5 + W0 (- 5e  )
(14)

On peut calculer l’erreur relative de la série.


PIC

FIGURE 2: Relative error on Wien’s law coefficient as a function of n


On voit qu’avec deux termes, l’erreur relative est de l’ordre de 0.001% ! Donc la loi de Wien peut s’exprimer comme

              a          1            1         hc 1
λp =  -------5----2--2×5-- = --------5----2--2×5-----.
      5 - 5e  -  5 e    T    5 - 5e   - 5 e     kB T
(15)

Références

[1]   P. Timmerman and J. P. van der Weele. On the rise and fall of a ball with linear or quadratic drag. Am. J. Phys., 67(6) :538–546, 1999.

[2]   M. Müller. Equation of time - problem in astronomy. Acta Phys. Pol. A, 88 :S–49, 1995.

[3]   R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare D.J. Jeffrey, and D.E. Knuth. On the lambert W function. Advances in computational mathematics, 5 :329–359, 1996.

[4]   D. Veberic. Having fun with lambert W(x) function. 2010. URL http ://arxiv.org/abs/1003.1628.