Résumé
On montre comment des équations transcendantes rencontrées en physique peuvent être résolues « analytiquement » grâce à la la fonction de Lambert.
Mouvement unidimensionnel, force de la forme = -λ, conditions initiales v(0) = v0 > 0, z(0) = 0, solutions
| (1) |
avec vl = mg∕λ [1] et τ = vl∕g,
| (2) |
Temps de montée obtenu pour v = 0, soit
| (3) |
Temps de descente obtenu pour z = 0, solution triviale t = 0, sinon on doit résoudre
| (4) |
ce qui revient à
| (5) |
avec y = t ↓ ∕τ, x = , α = - et f(y) = e-y.
La solution s’écrit en utilisant le théorème d’inversion de Lagrange [2]
| (6) |
Chaque terme de la somme peut s’exprimer comme
| (7) |
avec q = αe-x et (en utilisant α = -x)
| (8) |
De plus
| (9) |
Il y a donc convergence si |q|≤. Comme x = > 1, c’est toujours vérifié !
Une approximation de t↓ est donc
| (10) |
L’équation (7) correspond au développement en série de la fonction de Lambert W0(q), solution de l’équation z = W(z)eW(z) [3, 4].
Par conséquent on la solution analytique
| (11) |
On peut calculer l’erreur relative de la valeur approchée de t↓ :
On voit que pour vl∕v0 inférieur à 0.5, un terme suffit pour obtenir une erreur inférieure à 1%.
Pour trouver la loi de déplacement de Wien, on dérive la loi du corps noir par rapport à la longueur d’onde, ce qui conduit à l’équation transcendante suivante :
| (12) |
avec a = , soit encore en posant y =
| (13) |
avec x = 5 et f(y) = -xe-y, on obtient donc exactement l’équation (5).
La solution analytique est donc
| (14) |
On peut calculer l’erreur relative de la série.
On voit qu’avec deux termes, l’erreur relative est de l’ordre de 0.001% ! Donc la loi de Wien peut s’exprimer comme
| (15) |
[1] P. Timmerman and J. P. van der Weele. On the rise and fall of a ball with linear or quadratic drag. Am. J. Phys., 67(6) :538–546, 1999.
[2] M. Müller. Equation of time - problem in astronomy. Acta Phys. Pol. A, 88 :S–49, 1995.
[3] R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare D.J. Jeffrey, and D.E. Knuth. On the lambert W function. Advances in computational mathematics, 5 :329–359, 1996.
[4] D. Veberic. Having fun with lambert W(x) function. 2010. URL http ://arxiv.org/abs/1003.1628.