2 J’emprunte à ma banque

2.1 Remboursement mensuel

J’emprunte 1000 (S) à 22% (Ta) par an sur N = 48 mois. Je définis Tm = T
--a
 12 (attention, ce n’est plus la même définition qu’auparavant, mais c’est bien ce que fait la banque), et q = 1 + Tm. Je rembourse chaque mois une somme R, et après n mois, je dois à la banque cn (qui correspond à la somme due le mois précédent augmentée des intérêts moins le remboursement mensuel) :

c0  =   S,                                                       (1)

c1  =   c0.q - R,                                                 (2)
c2  =   c1.q - R =  c0q2 - Rq - R,                                (3)
                      3     2
c3  =   c2.q - R =  c0q - Rq   - Rq -  R,                         (4)
...                                                              (5)
           N       N-1    N -2        2
cN  =   c0q  - R (q    + q    +  ...+ q  + q + 1)                 (6)
           N     1---qN-
    =   c0q  - R  1 - q ,                                        (7)
or on doit avoir cN = 0 (à la fin du prêt, je ne dois plus rien), donc on en déduit
|------------------------------------------|
|                qN              T         |
|R = S.(1 - q).-----N-=  S.-------m-----N-.|
---------------1 --q-------1 --(1 +-Tm)-----
(8)

Dans ce montant remboursé mensuellement, une partie correspond au remboursement des intérêts, in = cn-1.Tm (ce qu’il reste à rembourser multiplié par le taux), et la part du capital est R - in = R - cn-1.Tm.

Le coût de l’emprunt est défini par N.R - S.

Application numérique : avec les valeurs données, on trouve Tm = 1, 833%, R =31,51 , et un coût pour le prêt de 512,29 .

2.2 Le seuil psychologique

On se sent mieux si chaque mois, on rembourse plus de capital que d’intérêts. On cherche donc la valeur de n telle que in < R - in= ⇒in < R
2-.

Après un peu de calcul, on trouve que le capital remboursé chaque mois dépasse les intérêts après n12 mois, tel que

               ln-2
n1∕2 = 1 + N -  ln q,
(9)

résultat qui ne dépend pas de la somme empruntée, mais uniquement du taux mensuel et de la durée du prêt.

De manière plus générale, les intérêts représentent une proportion inférieure ou égale à 1∕p du remboursement R à partir de n1∕p mois, défini par

|-------------------------------------------------------|
|                                            (     1 )  |
|                                          ln  1 - --   |
n    = 1 + N  - lnp---ln(p---1) = 1 + N  + --------p--. |
| 1∕p                  lnq                      lnq      |
--------------------------------------------------------
(10)

Application numérique : n12 = 10, 85, n13 = 26, 68 et n110 = 43, 2 (on peut arrondir à l’entier supérieur).

2.3 Autres seuils

2.3.1 Seuils liés au coût total

On peut chercher combien de temps est nécessaire afin que le montant restant à rembourser représente la proportion 1∕u de ce qui sera dû au total (capital et intérêts), c’est-à-dire la valeur n telle que cn = N R
----
 u, et on trouve

|--------------------------------------------(----------)--|
|                                                  TmN     |
|                                          ln  1 - -----   |
|n1∕u = N +  ln[(1---q)N-+--u] --ln-u-= N + ----------u----.|
----------------------lnq--------------------ln(1-+-Tm-)----
(11)

Application numérique : n12 = 16, 08, n13 = 28, 89 et n110 = 42, 93.

2.3.2 Seuils liés au capital seul

Enfin, on cherche le moment où on aura remboursé la proportion 1∕r du capital. Après n remboursements, le capital remboursé dn s’élève à nR - 1ni n = nR - Tm 1nc n-1, or c0 + c1 + c2 + ... + cn = q(c0 + c1 + c2 + ... + cn-1) - nR + S, donc on en déduit que 1nc n-1 = cn-+-nR----S-
    q - 1, et pour finir

|-------------------------------------|
d  =  nR -  T  cn +-nR---S--= S - c . |
| n          m    q - 1            n  |
--------------------------------------
(12)

Épatant, non ? en fait c’est normal, ce que j’ai déjà payé, c’est la différence entre le total et ce que je dois encore rembourser. Et on cherche donc n1∕r tel que dn = S∕r, ce qui revient à résoudre S - cn = S∕r=⇒cn = Sr - 1
--r--, et on trouve

|------------------------------------------------|
|                                 (    qN -  1)  |
|              N               ln  1 + -------   |
|n1∕r = ln-(r +-q----1) --ln-r-= -----------r-----.|
----------------lnq-------------------lnq---------
(13)

Application numérique : n12 = 29, 07, n13 = 20, 98 et n110 = 7, 17.