Le bol retourné

Alexandre Vial

23 décembre 2013

Résumé

Quelle hauteur d’eau permet de soulever un bol hémisphérique à l’envers ?

1 Pression et force
2 Hauteur limite

1 Pression et force

On considère un bol de forme hémisphérique, de rayon R, d’épaisseur e << R, de masse volumique ρbol posé à l’envers. Il contient un liquide de masse volumique ρ, dont la hauteur h peut-être modifiée grâce à un trou sur le sommet du bol.


PIC

FIGURE 1: Schéma du bol retourné.


On note z = R sin θ et h = R sin θ0.

La pression à une hauteur z vaut

p(z) = p0 - ρg(z - h).
(1)

Pour calculer la force élémentaire qu’exerce le liquide sur un élément de surface d⃗s tel que

d⃗s = Rd ϕR cos θdθ⃗e
                   r
(2)

il suffit de calculer

df⃗=  pd⃗s = (p0 - ρgR (sin θ - sin θ0))cosθR2d ϕd θ.
(3)

p0 contribue à la force exercée sur le bol à l’intérieur et à l’extérieur, donc les deux contributions vont se compenser, la force totale résultante n’en dépend pas, et par symétrie, cette force sera orientée verticalement, vers le haut (c’est donc la projection de la force élémentaire sur l’axe vertical qui est utile, ce qui fait apparaitre un terme sin θ supplémentaire) :

           ∫∫
fz = ρgR3      (sin θ0 - sinθ )cosθ sin θdθdϕ.
(4)

On obtient donc

               ∫ θ0
fz =   2πR3 ρg     (sin θ0sinθ cosθ - sin2θ cosθ)dθ                  (5)
                0
               (      [   2  ]θ0   [   3 ] θ0)
   =   2πR3 ρg   sin θ0  sin--θ-  -   sin-θ-                          (6)
                          2   0       3    0

   =   1-πρgR3 sin3θ0                                               (7)
       3
       1-     3
   =   3 πρgh  .                                                    (8)
Simple non ?

2 Hauteur limite

Le bol se soulève si la force calculée précédemment est supérieure au poids du bol : fz Pbol. Or

P    = (S  eρ   )g =  14πR2e ρ   g.
  bol     bol bol     2       bol
(9)

Ce qui conduit à

            ρbol
h3lim = 6R2e ----
             ρ
(10)

ou encore

       ∘ -----ρbol
hlim =  3 6R2e ---.
               ρ
(11)